Ünal Çeviköz, 1952 yılında İstanbul’da doğdu. Lise eğitimini Kadıköy Maarif Koleji’nde tamamladıktan sonra Boğaziçi Üniversitesi’nin İngiliz Dili ve Edebiyatı bölümünden 1974, Siyaset Bilimi bölümünden ise 1978 yılında mezun oldu. Aynı yıl Dışişleri Bakanlığı’nda göreve başladı ve merkez görevini müteakip Moskova Büyükelçiliği’nde ikinci katip, Bregenz Başkonsolosluğu’nda Konsolos olarak görev yaptı.
Ankara’da Doğu Dairesi’nde şube müdürü olarak yaptığı görevi tamamladıktan sonra Sofya Büyükelçiliği Müsteşarlığı’na tayin edildi. 1989 yılında Dışişleri Bakanlığı’ndan izinli olarak ayrılarak NATO Uluslararası Yazmanlığı’nda göreve başladı ve önce Ekonomi Direktörlüğü’nde sonra Siyasi Direktörlük’te çalıştı. 1993 yılında Brüksel Üniversitesi’nden Uluslararası İlişkiler Yüksek Lisans derecesini aldı. 1994 yılında NATO’nun Moskova’daki Enformasyon Bürosu’nu açmakla görevlendirildi. Bunu müteakip NATO-Rusya Kurucu Senedi’ni hazırladı ve 1997 yılında yeniden Dışişleri Bakanlığı’ndaki görevine döndü. Balkan Dairesi Başkanı ve Kafkasya-Orta Asya Genel Müdür Yardımcısı olarak merkez görevlerini tamamladıktan sonra 2001-2004 yıllarında Türkiye’nin Azerbaycan nezdinde, 2004-2006 yılları arasında da Irak nezdinde Büyükelçisi olarak görev yaptı. 2007-2010 yılları arasında Dışişleri Bakanlığı Müsteşar İkili Siyasi İşler Yardımcısı olarak Ankara’da bulundu. Bu sırada 2009 yılında Türkiye ile Ermenistan arasında imzalanan protokolleri hazırladı. 2010 yılında Londra’ya Büyükelçi olarak tayin oldu. 2014 yazında bu görevini tamamlayarak Türkiye’ye döndü.
Ünal Çeviköz 2013 yılında Uluslararası Denizcilik Örgütü 28. Dönem (2013-2015) Genel Kurul Başkanlığı’na seçildi.
Galatasaraylı olan Ünal Çevik öz 19 Ocak tarindeki Galatasaray kongresinde yönetim kurulu olarak seçilmiş ardında CHP nin 36. kongresine aday olmuş PM üyesi listesine girmeyi başarmıştı. Hem siyaset, hem spor yöneticiliğini bir arada olamayacağını söyleyerek, Galatasaray yönetim kurulu görevinden istifa etmiş CHP den PM üyeliğini tercih etmişti.
İngilizce, Fransızca, Rusça, Almanca ve İtalyanca bilmektedir.